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Objectifs de la séquence :
Objectifs de la séquence :
Ce que doit savoir faire l'élève :
Il calcule des grandeurs géométriques (longueurs, aires et volumes) en utilisant les transformations (symétries, rotations, translations, homothétie).
Dans une homothétie de rapport k, il calcule des longueurs, des aires et des volumes. Par exemple, il est capable de calculer l’aire de la figure obtenue dans une homothétie de rapport k (k non nul) connaissant l’aire de la figure initiale.
il transforme une figure par rotation et par homothétie et il comprend l’effet d’une rotation et d’une homothétie.
Il identifie des rotations et des homothéties dans des frises, des pavages et des rosaces.
Il mobilise les connaissances des figures, des configurations, de la rotation et de l’homothétie pour déterminer des grandeurs géométriques.
Il mène des raisonnements en utilisant des propriétés des figures, des configurations, de la rotation et de l’homothétie
Introduction
Introduction
Ce chapitre contiendra cinq parties :
Comprendre ce qu'est une homothétie
Calculs de longueur
Construire une homothétie
Placer le centre d'une homothétie
Calculer le rapport d'homothétie
Raisonner en utilisant les propriétés des homothéties.
Comprendre ce qu'est une Homothétie
Comprendre ce qu'est une Homothétie
L'homothétie est une transformation du plan, c'est une réduction ou un agrandissement de la figure, chaque point glisse sur la droite passant par le centre de l'homothétie.
L'homothétie à donc un centre, mais il faut aussi un rapport d'homothétie, c'est le coefficient d'agrandissement ou de réduction.
Comme pour les autres transformations, la transformation s'appelle l'image de la figure de départ.
Sur l'image ci-dessous A'B'C'D' est l'image de ABCD par l'homothétie de centre E et de rapport 3.
Sur la figure si dessus :
A' est l'image de A
B' est l'image de B
C' est l'image de C
D' est l'image de D
Comme le rapport de l'homothétie est 3, on multiplie toutes les longueurs par 3.
IMPORTANT : Un point, son image et le centre sont toujours alignés.
Souvent, pour généraliser le rapport d'une homothétie, nous utiliserons la lettre k, qui sera un nombre quelconque, il peut être égal à -8 ; 0 ; 3 ; 45 ; 1/3 ...
Le rapport k peut être positif ou négatif :
Positif ( k > 0 ) : Par rapport au centre, l'image est du même côté que la figure de départ.
Négatif ( k < 0 ) : Par rapport au centre, l'image est de l'autre côté de la figure de départ.
La figure F' est du même coté que le centre A car le rapport est positif, comme le rapport est de 3,5 , les longueurs sont 3,5 fois plus grandes sur l'image qui comparée à la figure de départ est située 3,5 fois plus loin de A.
La figure F'' est de l'autre côté du centre A car le rapport est négatif, comme le rapport est -2 , les longueurs sont 2 fois plus grande sur l'image qui est située 2 fois plus loin de A.
Ci-dessous une vidéo qui reprend ce qui a été dit, c'est parfois plus simple de comprendre :
Calculs de longueurs
Calculs de longueurs
Ceci va nous être utile tout le long du chapitre, notamment pour la construction d'homothétie. Ce qu'il faut retenir, c'est que lors d'agrandissement ou de réduction de figure, par exemple pour les homothéties, il y a proportionnalité entre les longueurs de l'image départ et les longueurs de l'image.
Ce qui signifie que pour passer des longueurs de l'image départ et des longueurs de l'image, on multiplie par un même nombre. Voici deux exemples :
Voici la feuille d'exercice qui vous permettra d'apprendre à "jouer avec les distances et les homothéties".
Le but est d'être assez à l'aise avec cette notion.
(N'hésitez pas à poser des questions.)
exercices Homothétie calcul de longueurs.pdfConstruire l'image d'un point ou d'une figure par homothétie
Construire l'image d'un point ou d'une figure par homothétie
Voici les étapes de construction du point A', image du point A par homothétie de rapport k et de centre O :
On calcule la longueur entre le centre O et l'image A' en multipliant la longueur OA par le rapport k
On trace la droite (OA)
On observe le signe du rapport k
S'il est positif, on place le point A' sur la droite (OA) du même côté que A par rapport au centre à la distance trouvée à l'étape 1
S'il est négatif, on place le point A' sur la droite (OA) à l'opposé de A par rapport au centre à la distance trouvée à l'étape 1
Exemple : On construit l'image A' de A par l'homothétie de centre O et de rapport 2,2.
Pour construire l'image d'une figure, on repère tous les points et on construit leur image de la même manière que dans la partie précédente.
Un exemple : On construit l'image A'B'C'H' du triangle ABCH par l'homothétie de rapport -0,5 et de centre H :
Tout d'abord, H est le centre, donc H' est à la même place que H (car la distance entre H et le centre est de 0).
On mesure ensuite la distance entre les points et le centre H, et on les multiplies par le rapport, ici 0,5.
On trace les droites (HA), (HB) et (HC)
On place les points A' , B' et C' sur les droites (HA), (HB) et (HC) à l'opposée des points A , B et C par rapport au centre H (car le rapport est négatif), en respectant les distances calculées au deuxième point.
Voici la feuille avec les exercices de constructions d'homothéties, vous serez guidés dans les premiers exercices avant de devenir autonomes sur les suivants.
Exercices homothétie constructions.pdfPlacer le centre d'une homothétie
Placer le centre d'une homothétie
C'est une partie assez simple, mais il faut comprendre "le truc". Et on va utiliser un exemple vu dans la première partie :
Alors, dans cet exemple où le quadrilatère A'B'C'D' est l'image de du quadrilatère ABCD par l'homothétie de centre E et des rapport 3, que remarque-t-on à propos des droites qui passent par les points et leurs images ?
Alors, vous l'avez ? Et oui elles passent toutes par le centre de l'homothétie.
Pour trouver le centre de l'homothétie, il suffit donc de tracer deux droites qui passent toutes deux par un point de la figure de départ et son image.
Exemples :
Cela fonctionne de la même manière si le rapport est négatif :
Calculer le rapport d'une homothétie
Calculer le rapport d'une homothétie
Calculer un rapport d'homothétie, c'est trouver le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des longueurs de la figure de départ aux longueurs de l'image.
Dans tous les cas, il faut trouver le signe, puis le nombre coefficient multiplicateur.
Pour trouver le signe, c'est assez simple :
Si l'image est du même côté que la figure de départ par rapport au centre : C'est positif
Si l'image est de l'autre côté du centre : C'est négatif
Vous pouvez :
Dans des cas simples, vous pouvez le trouver de tête, si l'image est 2 ou 3 fois plus grande que celle de départ, le coefficient et 2 ou 3, si elle est deux fois plus petite le coefficient est 1/2 (ou 0.5).
Utiliser un tableau si vous le souhaitez et faire par exemple un retour à l'unité (c'est à dire utiliser le produit en croix, ou autre, pour trouver la longueur de l'image pour une longueur 1 sur la figure de départ).
Utiliser la formule générale qui consiste à diviser une des valeurs par sa valeur de départ.
On peut laisser le coefficient sous forme de fraction, pensez bien à rajouter le signe devant le coefficient.
Deux exemples :
L'image est de l'autre côté du centre donc le rapport sera négatif.
AH = 3 cm et A'H = 7 cm donc :
On cherche le rapport de l'homothétie permettant de passer de la figure verte à l'image orange.
On a donc pris deux points D et F et leur image D' et F'.
Les points et leurs images sont du même côté par rapport au centre donc le rapport sera positif.
De plus on a DF = 16 m et D'F' = 4 cm
exercices Homothétie centre_rapport.pdfRaisonner en utilisant les propriétés des transformation.
Raisonner en utilisant les propriétés des transformation.
L'homothétie comme toutes les transformations vues au long du collège a des propriétés, découvrons les :
L'homothétie conserve les angles et l'alignement des points.
Une homothétie de rapport 1 ne transforme pas la figure. (Quand on multiplie un nombre par 1 il reste le même)
Une homothétie de rapport -1 est aussi une symétrie centrale et une rotation de 180° (demi-tour autour du point).
Les configurations de Thalès sont des homothéties. (Le théorème de Thalès est basée sur la proportionnalité.)
Si le coefficient du rapport est supérieur à 1, la figure est un agrandissement.
Si le coefficient du rapport est inférieur à 1, la figure est un rétrécissement.
Une fois les propriétés comprises, je vous conseille fortement d'allez faire un tour sur la page des transformations précédentes pour revoir leurs caractéristiques avant de faire le quiz :
Un brouillon un crayon une calculatrice et on attaque le quiz, avant de lancer le quiz, veillez à ce que ce soit bien votre prénom. Bon courage.
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