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Objectifs de la séquence
Objectifs de la séquence
Ce que doit savoir faire l'élève :
À partir de dénombrements, il calcule des probabilités pour des expériences aléatoires simples à une ou deux épreuves.
Il fait le lien entre stabilisation des fréquences et probabilités.
Exemple d'exercices que doit savoir faire l'élève à la fin de la séquence :
On suppose que, pour un couple, la probabilité d'avoir une fille ou un garçon est la même. Un couple souhaite avoir deux enfants. - Calcule, en explicitant les issues possibles, la probabilité d’avoir deux garçons. - Calcule la probabilité que le couple ait au moins une fille. Il peut utiliser le fait que c’est l’événement contraire d’avoir deux garçons.
On tire, deux fois de suite et avec remise, une boule dans une urne contenant une boule bleue et deux boules violettes. Détermine la probabilité de tirer successivement deux boules violettes, en utilisant une méthode de dénombrement prenant appui sur un tableau à double entrée.
On donne les fréquences d’apparition de chaque face d’un dé pour 10 000 lancers. L’élève interprète les résultats en les comparant aux probabilités théoriques.
L’élève interprète des simulations effectuées sur tableur ou logiciel de programmation en fonction d’un nombre de lancers.
Introduction
Introduction
La base de la probabilité, c'est la hasard. Le principe est d'estimer l'incertitude d'une situation.
Une probabilité c'est une nombre entre 0 et 1, souvent écrit sous forme de fraction qui permet d'évaluer la chance ou le risque qu'un événement se produise.
Plus la probabilité est proche de 0, moins l'événement a de chance de se réaliser.
Plus la probabilité est proche de 1, plus l'événement à de chance de se réaliser.
Cela peut être pratique pour savoir quel choix doit on faire dans un jeu de hasard par exemple, mais on s'en sert dans d'autre domaine que le jeu. Les probabilités servent par exemple dans la finance ou encore dans les assurances, afin d'évaluer les risques et déterminer des prix ou des taux.
Au collège nous nous contentons d'apprendre la base sur les probabilités ainsi que leur sens. Elles sont vues en 5ème (Vocabulaire), puis en 4ème (Calcul de probabilités), et en 3ème, nous irons un peu plus loin dans les exercices, avec des questions plus complexes, mais toutes aussi intéressantes.
Vocabulaire et notations
Vocabulaire et notations
Issues :
Issues :
Les issues sont les résultats d'une expérience.
Expérience aléatoire :
Expérience aléatoire :
C'est un expérience hasardeuse, imprévisible, avec plusieurs issues possibles, on ne peut alors pas connaître le résultat de cette expérience à l'avance.
Exemples :
1) Lancer une pièce et regarder si elle présente pile ou face, il y a deux issues possibles : pile et face.
2) Lancer un dé à six faces et lire le résultat, il y a six issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
3) Le tirage du loto, il y a énormément d’issues possibles : 19 068 840.
Contre-exemples :
1) Nombre de notes au dessus de 15/20 en mathématiques (la chance n’a rien à voir...).
2) La surface d’une boule quand on connaît son rayon (une formule permet de déterminer directement le volume en fonction du rayon r : ).
Événement :
Événement :
Un événement est formé d'une ou plusieurs issues.
Exemples d'événements avec un dé équilibré à 6 faces :
Obtenir 3 une issue : 3
Obtenir un nombre pair trois issues : 2 ; 4 ; 6
Obtenir un nombre strictement supérieur à 4. deux issues : 5 ; 6
Probabilité :
Probabilité :
La probabilité d'un événement se situe entre 0 et 1.
Elle exprime la chance qu'à cet événement de se produire.
Équiprobabilité :
Équiprobabilité :
Il y a équiprobabilité si on a autant de chance d'avoir chaque issue de l’expérience aléatoire.
Par exemple :
On lance un dé équilibré à 6 faces et on note le numéro.
On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée.
Exemple de situation pas équiprobable :
On lance un dé truqué.
On tire une boule dans une urne avec 3 boules vertes et 4 boules rouges et on note la couleur.
Événement contraire :
Événement contraire :
L'événement contraire d'un événement A est l'événement qui se réalise quand l'événement A ne se réalise pas, on le note avec une barre au dessus de A. Exemple avec un lancer de dé :
Notations :
Notations :
Événement : Un événement est noté avec une lettre.
Exemple : Lors d'une lancer de dé équilibré à 6 faces
A : "Obtenir un 6" B : "Obtenir un nombre inférieur ou égal à 4" P : "Obtenir un nombre pair"
Probabilité : La probabilité d'un événement A se note ainsi : P(A)
Lien avec les fréquences
Lien avec les fréquences
Pour rappel :
Lorsque l'on répète une expérience aléatoire, par exemple lors d'un lancer de pièce (cas très simple), nous pouvons calculer la fréquence d'un événement, ici "Obtenir pile" ou "Obtenir face". Je vous laisse regarder la vidéo suivante qui illustre le lien entre fréquences et probabilités avec le lancer de pièce :
Ce qu'il faut retenir, c'est que lorsque le l'on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, les fréquences d'apparition des différentes issues ou événements se rapprochent de leur probabilité.
Ci dessous un exemple sur tableur avec un lancer de dé équilibré et les événement :
A : " Obtenir 1" B : " Obtenir 2" C : " Obtenir 3" D : " Obtenir 4" E : " Obtenir 5" F : " Obtenir 6"
On sait que l'on a 1 chance sur 6 d'avoir chaque nombre donc :
Dans le tableur ci-dessous on a simulé 10000 lancers d'un dé (avec la fonction "=ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)" qui donne un nombre aléatoire entre 1 et 6) :
Simulation lancer de dé.ods
Nous pouvons donc voir que les fréquences d'apparitions sont assez proche des probabilités qui sont de 1/6 (environ 0.1667)
Exercices rapide en ligne d'entraînement sur le vocabulaire :
Faire le quiz suivant :
Calculs de probabilités
Calculs de probabilités
Formule pour calculer une probabilité :
Pour calculer des probabilités il faut donc connaitre le nombre d'issues au total et la probabilité de celles-ci. Nous pouvons parfois utiliser les différentes propriétés pour les calculer.
Propriétés :
Propriétés :
Une probabilité se situe toujours entre 0 et 1.
La somme des probabilités de chaque issue donne 1.
Exemple : Lancer de dés, 6 issues : {1;2;3;4;5;6} les probabilités de ses issues sont 1/6
La probabilité de l'événement contraire de A est :
Lorsque c'est compris vous pouvez faire le quiz ci-dessous (avec votre prénom) , PRENEZ LE TEMPS DE RÉPONDRE :
Prenez une calculatrice, un crayon et du brouillon, et c'est parti :
Puis faire les exercices du pdf ci dessous : (n'hésitez pas si vous avez des questions)
Exercices probabiltiés 1.pdfRépétition de deux expériences aléatoires et probabilités
Répétition de deux expériences aléatoires et probabilités
Au lycée vous découvrirez pour ce type d'exercice des arbres de probabilités. Mais pour cette année nous utiliserons le dénombrement, jusqu'ici, vous ne devez pas tout comprendre et c'est normal. Le principe est de compter toutes les issues possibles.
Utilisons l'exemple du lancer de pièce, mais cette fois nous lancerons deux fois.
P : "Obtenir pile" F : "Obtenir face"
Voici toutes les issues possibles :
P - P
P - F
F - P
F- F
Il y a donc 4 issues possibles.
On pose les événements suivants :
A : "Obtenir deux fois Pile."
B : "Obtenir au moins une fois Face"
C : "Obtenir une seule fois Pile"
Méthode : Tableau des résultats
Méthode : Tableau des résultats
Le principe est de faire un tableau à double entrées, en mettant une expérience aléatoire en ligne et l'autre expérience aléatoire (parfois la même) en colonne.
ATTENTION : Il faut une ligne/colonne pour chaque possibilité. Même si celle-ci se répète.
Exemple :
On tire une boule dans chaque urne, on gagne si on à 2 boules de la même couleur.
On peut donc faire ce tableau de résultats possibles.
Soit l'événement G : "On a gagné" , comme il y a 8 cas sur les 15 où l'on tire deux boules de la même couleur, on a :
La probabilité de gagner est donc de 8/15.
Exercices probabiltiés 2.pdfPage updated
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