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Objectifs de la séquence
Objectifs de la séquence
Ce que l'élève soit savoir :
Il modélise une situation de proportionnalité à l’aide d’une fonction linéaire.
Il utilise le lien entre pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur.
Il représente graphiquement une fonction linéaire, une fonction affine.
Il interprète les paramètres d’une fonction affine suivant l’allure de sa courbe représentative.
Il modélise un phénomène continu par une fonction.
Il modélise une situation de proportionnalité à l’aide d’une fonction linéaire.
Il résout des problèmes modélisés par des fonctions en utilisant un ou plusieurs modes de représentation.
PDF : Rappels sur la notion de fonction vue en début d'année
PDF : Rappels sur la notion de fonction vue en début d'année
Notion de Fonction.pdfIntroduction
Introduction
Les fonctions affines et linéaires sont des fonctions qui sont représentées par une droite dans un graphique.
On dit que ce sont des fonctions du premier degré. Le degré dépend de la plus grande puissance du x. Par exemple :
Et donc les fonctions suivantes sont du premier degré :
Toutes les fonctions du premier degré peuvent être écrites sous la forme :
a et b sont des nombres quelconques, ce peut être des nombres entiers, décimaux, des fractions, des nombres irrationnels (racine de 2, pi ...).
Vocabulaire et définitions du a et b
Vocabulaire et définitions du a et b
Dans f(x) = ax + b :
a est le coefficient directeur, on l'appelle ainsi car il dirige la droite, c'est lui qui "décide" si la droite est croissante (montante) ou décroissante (descendante) et si elle monte/descend vite ou lentement.
Si a est négatif (a<0), la droite est décroissante (descendante).
Si a est positif (a>0), la droite est croissante (montante).
b est l'ordonnée à l'origine, comme son nom l'indique, il nous indique en quelle ordonnée la droite passe à l'origine (pour l'abscisse 0).
Plus l'ordonnée à l'origine est grande plus la droite est "haute".
Voici ci dessous une animation GeoGebra qui vous permet de voir le comportement de la droite en fonction des nombres a et b (c'est à vous de bouger les curseurs a et b) :
Il existe 3 types de fonctions représentées par des droites :
Les fonctions affines, toutes les fonctions sous la forme ax+b (animation ci-dessus)
Les fonctions linéaires, sous la forme f(x)=ax , b = 0 , leurs droites passent par l'origine :
Les fonctions constantes sous la forme f(x)=b , peu importe la valeur de x, y sera toujours égal à b, il sera constant.
En complément une vidéo qui aide bien a comprendre ce qu'est une fonction affine :
Faire le quiz :
Construction de droites
Construction de droites
1) Construire une droite avec son équation
Soit l'équation de droite :
Comme b = 4, on peut placer l'ordonnée à l'origine (en abscisse 0), et donc placer le point (0 ; 4).
Ensuite la valeur de a, ici -3, nous indique que si l'on avance de 1 en abscisse, on va descendre de 3 en ordonnée (descendre car a est négatif).
On peut aussi trouver deux points, on prend deux abscisses au hasard et on trouve y avec l'équation :
On place donc les points ( 0 ; 4 ) et ( 2 ; -2 ) sur le graphique et on trace la droite qui passe par ces deux points.
2) Construire une droite avec deux informations sur la fonction
Soit une fonction g telle que g(-1) = -4 et g(3) = 4.
Cela nous permet de déterminer deux points : A( -1 ; -4) et B( 3 ; 4 ).
Il suffit ensuite de les placer et de tracer la droite qui passe par ces deux points :
Faire la feuille d'exercices sur le début des fonctions affines :
exercice fonction affines bases.pdfFaire la feuille d'exercices sur la construction de droite :
exercices fonction affines construction de droites.pdfDéterminer une équation de droite graphiquement
Déterminer une équation de droite graphiquement
Ici par exemple, a = 2.
En effet, lorsque l'on avance de 1 en abscisse, on monte de 2 sur en ordonnée. (Si on descend a est négatif)
L'ordonnée à l'origine (en abscisse 0) est -1 donc b= -1
On peut donc déterminer l'équation de droite : y = 2x – 1
Faire la feuille d'exercices suivante :
exercices fonction affines déterminer une equation de droite graphiquement.pdfDéterminer une équation de droite à l'aide de 2 points
Déterminer une équation de droite à l'aide de 2 points
Ici le but est tout d'abord de trouver les coordonnées de deux points, parfois les deux points nous serons donnés, sinon, on peut les déterminer :
- Graphiquement, on a la droite sur le graphique, on choisit alors deux points précis.
- Avec les informations d'un énoncé (exemple ci-dessous)
Soit h une fonction telle que :
Les points associés sont donc :
(On a pris A et B parce que ce sont les 2 premières lettres de l'alphabet mais on peut prendre n'importe lesquelles.)
Il faut ensuite utiliser la méthode pour trouver a et b :
a) Pour trouver a, il faut utiliser la formule ci-contre :
b) On sait que l'équation de droite est :
Pour trouver b, il faut résoudre une équation. Pour cela, on choisit un point, ici on peut prendre A.
Les coordonnées d'un point sont sous la forme ( x ; y).
On résout l'équation suivante :
L'équation de droite est donc :
Faire les feuilles d'exercices suivantes :
exercices fonction affines déterminer une equation de droite 2.pdfexercices fonction affines déterminer une equation de droite 3.pdfFonction linéaire
Fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction affine mais avec l'ordonnée à l'origine nulle, c'est à dire b = 0
C'est à dire que l'on a une fonction sous la forme f(x)=ax .
Pour passer du nombre de départ au nombre d'arrivée, on multiplie donc par un même nombre a.
Cela ne vous rappelle rien ? Et si, la proportionnalité !
Le coefficient directeur "a" est donc ici aussi le coefficient de proportionnalité.
Et comme l'ordonnée à l'origine est égale à 0, la représentation graphique d'une situation de proportionnalité est une droite qui passe par l'origine ( le point (0;0) ).
Ci dessous un exemple de situation de proportionnalité :
Pour trouver a et b on utilise les mêmes méthodes que précédemment pour les fonctions affine, à une différence près : pas besoin de trouver b il est égal à 0 !
Faire la fiche d'exercices suivante :
exercices fonctions linéaires.pdfPage updated
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